设f(x)在区间〔1,0〕上的图象是连续不断的一条曲线,又设f(x)只取有理值且f(1/2)=2．试证明f(x)=2

Question

设f(x)在区间〔1,0〕上的图象是连续不断的一条曲线,又设f(x)只取有理值且f(1/2)=2．试证明f(x)=2

Answer 1

只需要证明f(x)为常数即可设f(x1)=C1,f(x2)=C2,C1、C2是有理数如果C1≠C2,不妨设C1＜C2,我们知道√2是无理数,取n=[lg(√2/(C2-C1))]+1,[x]表示x的整数部分显然√2/10^n是无理数,而且：0＜√2/10^n＜C2-C1令C=C1+√2/...