矩阵相似矩阵B001010100已知A相似于B求R(A-2E)+R(A-E)的值对于矩阵相似至今我也没怎么弄懂矩阵相似到底是个怎么回事。

Question

矩阵相似矩阵B001 010 100已知A相似于B求R(A-2E)+R(A-E)的值 对于矩阵相似至今我也没怎么弄懂矩阵相似到底是个怎么回事。

Answer 1

矩阵A与B相似,即存在可逆矩阵P,满足P^-1AP=B. 基本结论:相似矩阵的特征多项式相同 推论:相似矩阵特征值相同,行列式相同,迹也相同(此推论常用,需记住) 两个常用结论:A的行列式等于A的全部特征值之积 A的迹等于A的全部特征值之和 计算B的特征值:|B-λE|=-(1-λ)^2(1+λ) 所以B的特征值为:1,1,-1 由A与B相似知A的特征值为1,1,-1 所以A-2E的特征值为1-2=-1,1-2=-1,-1-2=-3. 故A-2E可逆.[A可逆的充分必要条件之一是A的特征值都不为0] 同样有A-E的特征值为:1-1=0,1-1=0,-1-1=-2 故r(A-E)=1[别问为什么,会用就行,它的秩等于它非零特征值的个数] 所以R(A-2E)+R(A-E)=3+1=4.