设函数y=f（x）在区间[0，1]上可导，在（0，1）内恒取正值，且满足xf′（x）=f（x）+3x2，又由曲线y=f（x）与直线x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求函数f（x）的表达式，并计算图形S绕x轴旋

Question

设函数y=f（x）在区间[0，1]上可导，在（0，1）内恒取正值，且满足xf′（x）=f（x）+3x²，又由曲线y=f（x）与直线x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求函数f（x）的表达式，并计算图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

Answer 1

由xf′（x）=f（x）+3x²，得
f′(x)−(1)/(x)f(x)＝3x（x≠0）
这是一阶非齐次线性微分方程，
解得：f(x)＝e∫(1)/(x)dx(∫3xe−∫(1)/(x)dxdx+C)=Cx+3x²
又由曲线y=f（x）与直线x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，得

∫

1 0

f(x)dx＝2
将f（x）代入，解得C=2
∴f（x）=2x+3x²，
∴图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
∴V＝π

∫

1 0

f2(x)dx＝π

∫

1 0

(2x+3x2)2dx=(92)/(15)π．