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已知函数f(x)=ln(ax-bx)(0<b<1<a)(Ⅰ)求函数f(x)的定义域G,并判断f(x)在G上的单调性;(Ⅱ)当a、b满足什么条件时,f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值.
题目详情
已知函数f(x)=ln(ax-bx)(0<b<1<a)
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域G,并判断f(x)在G上的单调性;
(Ⅱ)当a、b满足什么条件时,f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域G,并判断f(x)在G上的单调性;
(Ⅱ)当a、b满足什么条件时,f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由ax-bx>0,得(
)x>1,
由于0<b<1<a,则
>1,即有x>0,
则定义域为(0,+∞);
由于0<b<1<a,则ax递增,bx递减,则ax-bx递增,
即有f(x)在(0,+∞)上递增;
(Ⅱ)由于f(x)在(0,+∞)上递增,
则f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值,即为f(x)≥f(1)=ln(a-b),
即有ln(a-b)>0,即有a-b>1.
则有当a、b满足a-b>1时,f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值.
a |
b |
由于0<b<1<a,则
a |
b |
则定义域为(0,+∞);
由于0<b<1<a,则ax递增,bx递减,则ax-bx递增,
即有f(x)在(0,+∞)上递增;
(Ⅱ)由于f(x)在(0,+∞)上递增,
则f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值,即为f(x)≥f(1)=ln(a-b),
即有ln(a-b)>0,即有a-b>1.
则有当a、b满足a-b>1时,f(x)在区间[1,+∞)上恒取正值.
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