我国航天技术世界领先，天宫、神八相继发射成功，由此激发了我们对地球运动的深入研究．设地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b，如图所

Question

我国航天技术世界领先，天宫、神八相继发射成功，由此激发了我们对地球运动的深入研究．设地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b，如图所示．（已知：地球的势能为−(GMm)/(r)其中r是地球与太阳的距离），试求
（1）由能量与行星运动规律写出，地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度v_A，v_B，v_C有关的方程组．
（2）由（1）有关的方程组求出地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度v_A，v_B，v_C．
（3）求出地球运动轨迹在A、C两点的曲率半径ρ_A、ρ_C．
（以上有关结果由G、M、m、a、b表示）

Answer 1

（1）针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒(1)/(2)mv_A²+（-G(Mm)/(a−c)）=(1)/(2)mv_B²+（-G(Mm)/(a+c)）  ①
比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：v_A（a-c）=v_B（a+c）②
结合椭圆的基本关系：c=√(a2−b2) ③
（2）解以上三式可得：v_A=(a+√(a2−b2))/(b)√((GM)/(a)) ④，
v_B=(a−√(a2−b2))/(b)√((GM)/(a))⑤
再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有(1)/(2)mv_A²+（-G(Mm)/(a−c)）=