要思路.已知两个定圆.是否存在一个定点P.使过P点有无数条直线L与圆C1和圆C2都相交,且L被两圆截得的弦长相等.

Question

要思路.
已知两个定圆.是否存在一个定点P.使过P点有无数条直线L与圆C1和圆C2都相交,且L被两圆截得的弦长相等.

Answer 1

不存在.
若大圆包含小圆,一根这样的直线也没有.
其他情况下,过一定点,最多能做两条这样的直线
假设存在这样一个P点
总能建立这样一个直角坐标系：以P为原点（0,0）,x轴与两圆心连线平行
这时,过P的直线方程为：
L:y=kx（k为斜率）
两圆圆心坐标设为（a,c）和（b,c）,设b>a,且b-a=d（圆心距为定值）
两圆的方程为：
O1:(x-a)^2+(y-c)^2=r^2
O2:(x-b)^2+(y-c)^2=R^2
L与O1交A、B两点,与O2交C、D两点
将y=kx分别代入圆方程：
(x-a)^2+(kx-c)^2=r^2 => (1+k^2)x^2-2(a+ck)x+a^2+c^2-r^2=0
(x-b)^2+(kx-c)^2=R^2 => (1+k^2)x^2-2(b+ck)x+b^2+c^2-R^2=0
由韦达定理可分别得到：
xA+xB=2(a+ck)/(1+k^2),xAxB=(a^2+c^-r^2)/(1+k^2)
xC+xD=2(b+ck)/(1+k^2),xCxD=(b^2+c^-R^2)/(1+k^2)
(xA-xB)^2=4(a+ck)^2/(1+k^2)^2-4(a^2+c^-r^2)/(1+k^2)
=4[r^2(1+k^2)-(ak-c)^2]/(1+k^2)^2
(xC-xD)^2=4(b+ck)^2/(1+k^2)^2-4(b^2+c^-R^2)/(1+k^2)
=4[R^2(1+k^2)-(bk-c)^2]/(1+k^2)^2
又：
|AB|^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=(1+k^2)(xA-xB)^2
=4[r^2(1+k^2)-(ak-c)^2]/(1+k^2)
|CD|^2=(xC-xD)^2+(yC-yD)^2=(1+k^2)(xC-xD)^2
=4[R^2(1+k^2)-(bk-c)^2]/(1+k^2)
由于|AB|=|CD|,所以：
r^2(1+k^2)-(ak-c)^2=R^2(1+k^2)-(bk-c)^2
整理得：
[R^2-r^2-d(a+b)]k^2+2dck+R^2-r^2=0
这是一个关于k的一元二次方程,无论a,b,c取什么值,k最多有两个实根.
要讨论这个方程实根情况,是比较复杂,这里只是按照图形解释一下：
1、大圆包含小圆,无解.（这里指的是d和R、r的关系）
2、P点在两圆外公切线之外,无解.（是指c与R、r、a、b的关系）
3、P点在两圆心连线上（是线的一个点）,有唯一解.（c=0,b=(R^2-r^2+d^2)/(2d),a=(R^2-r^2-d^2)/(2d))
4、其它情况,有两个根.（可能还漏了一些情况,你自己根据方程推吧）