在第一象限内求曲线y=-x2+1上的点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围图形的面积最小．

Question

在第一象限内求曲线y=-x²+1上的点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围图形的面积最小．

Answer 1

由题意，设切点P（a，1-a²）（0y-（1-a²）=-2a（x-a）
即y=-2ax+1+a²
∴切线与x轴和y轴的交点分别为((1+a2)/(2a)，0)、（0，1+a²）
∴切线与坐标轴所围成的图形面积为A1=(1)/(2)•(1+a2)/(2a)•(1+a2)=((1+a2)4)/(4a)
曲线在第一象限与坐标轴所围成的图形面积为A2=

∫

1 0

(1-x2)dx=(2)/(3)
∴切线与所给曲线及两坐标轴所围图形的面积A=A1-A2=((1+a2)4)/(4a)-(2)/(3)
∴A′(a)=((1+a2)3)/(4a2)•(8a2-1)
令A′（a）=0，记得a=(1)/(2√(2))（舍去负值）
又当0<a<(1)/(2√(2))时，A'（a）<0；当(1)/(2√(2))<a<1时，A'（a）>0
故a=(1)/(2√(2))是A（a）唯一的极小值点，即为最小值点
∴所求点为((1)/(2√(2))，

作业帮用户 2017-06-04 举报

问题解析

首先，假设切点（a，1-a²）（0<a<1）；然后写出切线方程；再由定积分求出图形的面积；最后其最小值．

名师点评

本题考点：

函数的最大值和最小值 平面图形面积的计算

考点点评：

此题考查曲线切线的求法、平面图形的面积求法以及函数最小值的求法，知识点较多，但都比较基础．

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