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在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,则当a>0时,实数b的最小值是.
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在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,则当a>0时,实数b的最小值是______.
▼优质解答
答案和解析
设出曲线上的一个切点为(x,y),
由y=alnx,得y′=
,
∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,
∴y′=
=1,
∴x=a,
∴切点为(a,alna),
代入y=x+b,可得b=alna-a,
∴b′=lna=0,可得a=1,
∴函数b=alna-a在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴a=1时,b取得最小值-1.
故答案为:-1.
由y=alnx,得y′=
a |
x |
∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线,
∴y′=
a |
x |
∴x=a,
∴切点为(a,alna),
代入y=x+b,可得b=alna-a,
∴b′=lna=0,可得a=1,
∴函数b=alna-a在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴a=1时,b取得最小值-1.
故答案为:-1.
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