n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（）A．任一行向量都是非零向量B．任一列向量都是非零向量C．Ax=b有解D．Ax=0仅有零解

Question

n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（　　）

A．任一行向量都是非零向量
B．任一列向量都是非零向量
C．Ax=b有解
D．Ax=0仅有零解

Answer 1

n阶矩阵A可逆⇔A=P₁P₂…P_lE，P₁，P₂，…P_l为初等矩阵⇔|A|≠0⇔R（A）=n．
R（A）=n⇒矩阵任意行（列）向量都是非零向量，矩阵任意行（列）向量都是非零向量不能推出|A|=0，所以，选项A，B是n阶矩阵A可逆的必要条件，故选项A，B错误；
R（A）=n⇔Ax=b有唯一解，但是，Ax=b有解⇔R（A）=R（A，b），此时R（A）=R（A，b）可以小于n，所以，选项C是n阶矩阵A可逆的必要条件，故选项C错误；
R（A）=n⇔Ax=0仅有零解，故选项D正确．
故选：D．