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在图1和图2中,△ABC和△DEC都是等边三角形,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.(1)如图1,点D、E分别在AC、BC的延长线上,求证:△FGH是等边三角形.(2)将图1中的△DEC绕点C顺时针
题目详情
在图1和图2中,△ABC和△DEC都是等边三角形,F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点.
(1)如图1,点D、E分别在AC、BC的延长线上,求证:△FGH是等边三角形.
(2)将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,△FGH还是等边三角形吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
(1)如图1,点D、E分别在AC、BC的延长线上,求证:△FGH是等边三角形.
(2)将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,△FGH还是等边三角形吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABC和△DEC都是等边三角形,
∴DE=EC=CD,AC=CB=AB,
∴AC+CD=CB+EC=ED+AB,
∵F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点,
∴FG=
EB,HF=
AD,HG=
(DE+AB),
∴HG=HF=FG,
∴△HFG是等边三角形;
(2)证明:连接AD,BE并取AB中点M,连MH,MG
∵△ABC和△DEC都是等边三角形,
∴∠ACD=60°+∠BCD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,
∴∠CEB=∠CDA
∴AD,BE相交成60°(有一对对顶角的三角形)
∵F,G分别是△BDE,DE,DB上的中点,
∴FG是中位线≥FG
BE,
同理 FH
AD; MG
BE; MG
AD
∴FG=FH=MH=MG
∵AD,BE相交成60°
∴∠HFG=60°
∴四边形HFGM是含60°角的菱形
∴△HFG是有一个60°角的等腰三角形
∴△HFG是等边三角形.
∴DE=EC=CD,AC=CB=AB,
∴AC+CD=CB+EC=ED+AB,
∵F是DE的中点,H是AE的中点,G是BD的中点,
∴FG=
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∴HG=HF=FG,
∴△HFG是等边三角形;
(2)证明:连接AD,BE并取AB中点M,连MH,MG
∵△ABC和△DEC都是等边三角形,
∴∠ACD=60°+∠BCD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中
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∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,
∴∠CEB=∠CDA
∴AD,BE相交成60°(有一对对顶角的三角形)
∵F,G分别是△BDE,DE,DB上的中点,
∴FG是中位线≥FG
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同理 FH
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∴FG=FH=MH=MG
∵AD,BE相交成60°
∴∠HFG=60°
∴四边形HFGM是含60°角的菱形
∴△HFG是有一个60°角的等腰三角形
∴△HFG是等边三角形.
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