如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，BD＝23，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．（Ⅰ）求证：AC⊥

Question

如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，BD＝2√(3)，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角A-PB-D的余弦值为(√(21))/(7)，求θ的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）以OB为x轴，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（√(3)，0，0），P（，−√(3)cosθ，0，√(3)sinθ），则

AB

＝(√(3)，1，0)，

AP

＝(−√(3)cosθ，1，√(3)sinθ)
平面PBD的法向量为

j

＝(0，1，0)
设平面ABP的法向量为

n

＝(x，y，z)
则由

n

⊥

AB

n

⊥

AP

得，

√(3)x+y＝0

−√(3)xcosθ+y+√(3)zsinθ＝0

，令x=1，则

n

＝(1，−√(3)，(cosθ+1)/(sinθ))
∴cos＜

n

，

j

＞=(|n•j|)/(|n||j|)=(√(3))/(√(4+((cosθ+1)2)/(sin2θ)))=(√(21))/(7)
∴((cosθ+1)2)/(sin2θ)=3，即sin(θ−(π)/(6))＝(1)/(2)，
又θ∈(0，(π)/(2))，∴θ＝(π)/(3)．