有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方

Question

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

Answer 1

（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，∴V1=（4-2x）2•x=4（x3-4x2+4x）（0＜x＜2）．∴V1′=4（3x2-8x+4）．令V1′=0，得x1=23，x2=2（舍去）．而V1′=12（x-23）（x-2），又当x＜...