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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(-1,0),将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90度,得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M,与y轴交于点N,抛物线经过点C,M,N

题目详情
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(-1,0),将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90度,得矩形OA′B′C′矩形设直线BB’与x轴交于点M,与y轴交于点N,抛物线经过点C,M,N点.
解答下列问题:
(1)设直线BB′表示的函数解析式为y=mx+n,求m,n;
(2)求抛物线表示的二次函数的解析式;
(3)在抛物线上求出使S△PB′C′=S矩形OABC的所有点P的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形OABC是矩形,
∴B(-1,3)(1分)
根据题意,得B′(3,1)
把B(-1,3),B′(3,1)代入y=mx+n中,
−m+n=3
3m+n=1
(1分)
解得
m=−
1
2
n=
5
2

∴m=-
1
2
,n=
5
2


(2)由(1)得y=-
1
2
x+
5
2

∴N(0,
5
2
),M(5,0)(2分)
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,
把C(-1,0),N(0,
5
2
),M(5,0)代入得:
a−b+c=0
c=
5
2
25a+5b+c=0

解得
a=−
1
2
b=2
c=
5
2
(1分)
∴二次函数的解析式为y=-
1
2
x2+2x+
5
2
(1分)

(3)∵S矩形OABC=3×1=3
∴S△PB‘C′=3
又∵由(1)(2)知B'C'=BC=3,
∴点P到B'C'的距离为2,则P点的纵坐标为3或-1
当y=3时,3=-
1
2
x2+2x+
5
2
,即x2-4x+1=0
解得x=2±
3

∴P1(2+
3
,3),P2(2-
3
,3),(2分)
当y=-1时,-1=-
1
2
x2+2x+
5
2
,即x2-4x-7=0
解得x=2±
11

∴P3(2+
11
,-1),P4(2-
11
,-1)(2分)
∴P点坐标(2+
3
,3),(2-
3
,3),(2+
11
,-1),(2-
11
,-1).
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