如图所示，一个与平台连接的足够长斜坡倾角θ=ansin130，一辆卡车的质量为lt．关闭发动机，卡车从静止开始沿斜坡滑下，最大速度可达120km/h，已知卡车运动过程中所受空气阻力和地面阻力

Question

如图所示，一个与平台连接的足够长斜坡倾角θ=ansin(1)/(30)，一辆卡车的质量为l_t．关闭发动机，卡车从静止开始沿斜坡滑下，最大速度可达120km/h，已知卡车运动过程中所受空气阻力和地面阻力与速度成正比，即f=kv．
（1）求出比例系数k；
（2）现使卡车以恒定功率P沿斜坡向上行驶，达到的最大速度为54km/h，求功率P；
（3）当卡车开上平台后，继续保持此恒定功率行驶40s，重新匀速行驶，求卡车开上平台后到匀速行驶的过程中克服阻力所做的功．

Answer 1

（12分）（1）卡车沿斜面下滑时受到沿斜面向上的阻力，当汽车所受阻力与重力沿斜面向下的分力大小相等时，汽车具有最大速度，所以有：
mgsinθ=kv_m
则根据题意有：k=(mgsinθ)/(vm)=(103×10×(1)/(30)N)/((120)/(3.6)m/s)=10Ns/m
（2）汽车沿斜面向上行驶时，沿斜面方向受到向上的牵引力F和沿斜面向下的阻力f和沿斜面向下的重力分力mgsinθ，当汽车速度最大时有：
F=f+mgsinθ
根据题意有当汽车速度最大时汽车所受的阻力为：f=kv_m
所以有汽车速度最大时的牵引力：F=kv_m+mgsinθ
根据P=FV得此时汽车的功率：P=Fv_m=k

v

2 m

+mgsinθvm=10×((54)/(3.6))2+103×10×(1)/(30)×(54)/(3.6)W=7250W．
（3）卡车开上平台后，受牵引力和阻力作用，卡车先做加速度逐渐减小的加速运动，当汽车牵引力等于阻力时卡车做匀速直线运动，令此时卡车速度为v₂
则根据题意有：此时卡车牵引力：F₂=f₂=kv₂
卡车的功率：P=F2v2＝k

v

2 2

故有：(P)/(k)=

v

2 2

卡车平台上运动40s的过程中对卡车使用动能定理有：
Pt+Wf＝(1)/(2)m

v

2 2

−(1)/(2)m

v

2 1

Wf＝(1)/(2)m(

v

2 2

−

v

2 1

)−Pt
代入数据得：Wf＝−4×104J
故克服阻力做功为4×10⁴J
答：（1）比例系数为10Ns/m；
（2）现使卡车以恒定功率P沿斜坡向上行驶，达到的最大速度为54km/h，求功率为7250W；
（3）当卡车开上平台后，继续保持此恒定功率行驶40s，重新匀速行驶，求卡车开上平台后到匀速行驶的过程中克服阻力所做的功为4×10⁴J．