如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于P点,E、F分别是、的中点,连接EF分别交AB、CD于M、N.(1)求证:△PMN是等腰三角形;(2)若弦AB、CD的延长线交于P点,其他条件不变,(1)的结论
如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于P点,E、F分别是 、 的中点,连接EF分别交AB、CD于M、N.
(1)求证:△PMN是等腰三角形;(2)若弦AB、CD的延长线交于P点,其他条件不变,(1)的结论是否成立?请说明理由.
解析:
(1)连接OE、OF,因为E、F是、的中点,所以OE⊥AB,OF⊥CD,又∠E=∠F,∴∠EMA=∠FNC,则∠PMN=∠PNM,PM=PN. (2)可参考下面例题解析. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD和AB的延长线交于P点,OF⊥AB交⊙O于F点,E是的中点,连接EF交AP于M,交CP于N.求证:PM=PN. 证明:连接OE交CD于H. ∵E是的中点,∴OE⊥CD,则∠EHN=. 又OE=OF,∴∠E=∠F. 且∠FOM=,∴∠FMO=∠HNE. 又∠FMO=∠PMN,∠HNE=∠PNM, 即∠PMN=∠PNM,∴PM=PN.
分析:
要证PM=PN,可以去证∠PMN=∠PNM. 而∠PMN=∠FMO,由条件E是的中点,连接OE,可知OE⊥CD,设垂足为H,并且OE=OF,∠E=∠F,则可知∠HNE=∠OMF,从而可证得∠PMN=∠PNM.
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