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如图,四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O,已知:AC=BD,∠OBC=∠OCB.(1)求证:AB=DC;(2)判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确,若正确请证明,若不正确请举出一个反例.
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如图,四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O,已知:AC=BD,∠OBC=∠OCB.
(1)求证:AB=DC;
(2)判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确,若正确请证明,若不正确请举出一个反例.
(1)求证:AB=DC;
(2)判别结论“四边形ABCD一定是等腰梯形”是否正确,若正确请证明,若不正确请举出一个反例.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∵AC=BD,
∴OA=OD,
在△AOB和△DOC中
∵
,
∴△AOB≌△DOC(SAS),
∴AB=DC.
(2)四边形ABCD一定是等腰梯形,
证明:∵OA=OD,OB=OC,
∴∠OAD=∠ODA,∠OBC=∠OCB,
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∠BOC=∠AOD,
∴∠ADO=∠OBC,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是梯形,
∵由(1)知:AB=DC,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
∴OB=OC,
∵AC=BD,
∴OA=OD,
在△AOB和△DOC中
∵
|
∴△AOB≌△DOC(SAS),
∴AB=DC.
(2)四边形ABCD一定是等腰梯形,
证明:∵OA=OD,OB=OC,
∴∠OAD=∠ODA,∠OBC=∠OCB,
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,∠BOC=∠AOD,
∴∠ADO=∠OBC,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是梯形,
∵由(1)知:AB=DC,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
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