已知函数f（x）=ex-kx+k（k∈R）．（1）试讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若该函数有两个不同的零点x1，x2，试求：（i）实数k的取值范围；（ii）证明：x1+x2>4．

Question

已知函数f（x）=e^x-kx+k（k∈R）．
（1）试讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若该函数有两个不同的零点x₁，x₂，试求：（i）实数k的取值范围；（ii）证明：x₁+x₂>4．

Answer 1

（1）由f（x）=e^x-kx+k，（k∈R），则f′（x）=e^x-k，
讨论：若k≤0，则f′（x）>0，故f（x）在定义域上单调递增；
若k>0，令f′（x）>0，解得x>lnk；令f′（x）<0，解得x综上：当k≤0时，f（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当k>0时，f（x）的单调递增区间为（lnk，+∞），单调递减区间为（-∞，lnk），
（2）（i）由题意：由（1）可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；
k>0时，令f（lnk）=e^lnk-klnk+k<0，解得k>e²，
此时f（1）=e>0；x→+∞时，f（x）→+∞>0，
因此会有两个零点，符合题意．
综上：实数k的取值范围是（e²，+∞）；
（ii）：由（i）可知：k>e²时，此时f（1）=e>0；x→+∞时，f（x）→+∞>0，且f（2）=e²-k<0，
因此x₁∈91，2），x₂∈（2，+∞），
由ex1=kx₁-k，ex2=kx₂-k，相除后得到ex2-x1=(x2-1)/(x1-1)，
取对数x₂-x₁=ln（x₂-1）-ln（x₁-1），令y₂=x₂-1，y₁=x₁-1，
即y₂-y₁=lny₂-lny₁=ln(y2)/(y1)，要证 x₁+x₂>4，即证y₁+y₂>2，
即证(2(y2-y1))/(y2+y1)<ln(y2)/(y1)，令(y2)/(y1)=t>1，即证(2(t-1))/(t+1)<lnt，
构造函数h（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)（t>1），
由h′（t）=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，y=h（t）单调递增，
则h（t）>h（1）=0，故不等式成立，
综上，原不等式成立．