在算数1a+4b=30,ab两个自然数,使他们的倒数之和最小,则ab分别为我解的是1/a+1/b大于等于一个数,当且仅所以a=b与1a+4b=30联立解得a=b=6为什么不对?

Question

在算数1a+4b=30,ab两个自然数,使他们的倒数之和最小,则ab分别为 我解的是1/a+1/b大于等于一个数,当且仅
所以a=b与1a+4b=30联立解得a=b=6为什么不对?

Answer 1

四大平均式：调和平均<=几何平均<=算术平均<=平方平均
其中调和平均的形式是 n/[(1/A1)+(1/A2)+(1/A3)+...+(1/An)]
算术平均的形式是 (A1+A2+A3+...+An)/n
本题就可以用调和平均<=算术平均,其中等号成立条件是A1=A2=A3=...=An
3/[(1/a)+(1/2b)+(1/2b)]<=(a+2b+2b)/3
3/[(1/a)+(1/b)]<=(a+4b)/3
(1/a)+(1/b)>=9/(a+4b)
将a+4b=30代入
得到(1/a)+(1/b)>=3/10
等号成立条件是1/a=1/2b=1/2b,代入a+4b=30,解得a=10,b=5
所以在a=10,b=5 时倒数之和最小,此时倒数之和=3/10
楼主用的是a+b>=2根号(ab)这个方法吧?请注意在用这个方法的时候不等式的某一边是你要求的式子,而另一边必须是一个确定的数,比如本题,如果你要用这个式子求1/a+1/b的最小值,那么必须有2根号(1/ab)是确定的数,换言之a*b必须是确定的数,否则就会出错