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将l,2,3,4,…,n,这些数按顺序排成一个圆圈,然后将1后面的两个数(2,3)划去,4后面的两个数(5,6)划去,7后面的两个数(8,9)划去,…,一直划到只剩下1个数.(1)当n=3,9
题目详情
将l,2,3,4,…,n,这些数按顺序排成一个圆圈,然后将1后面的两个数(2,3)划去,4后面的两个数(5,6)划去,7后面的两个数(8,9)划去,…,一直划到只剩下1个数.
(1)当n=3,9,27时,最后这个数是几?
(2)猜想:当n=3k(k为非零自然数)时,最后这个数是几?
(3)当n=1001时,最后这个数是几?试说明理由.
(1)当n=3,9,27时,最后这个数是几?
(2)猜想:当n=3k(k为非零自然数)时,最后这个数是几?
(3)当n=1001时,最后这个数是几?试说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据操作要求,当n=3,时,当2、3被划去时,还剩1;n=9,还当9被划去时,还剩下1、4、7、再划去4、7,还剩1.如n=27,最后还剩下1.由此可以发现,n=3k(k为非零自然数)时,最后剩下的都是1.
(2)由(2)可知,当n=3k(k为非零自然数)时,最后这个数是1.
(3)于每次划去两个数,则当n为偶数是,划数不能只剩一个,只有奇数才可以.
当n为3是,剩1;
当n为5是,剩4;
当n为7是,剩7;
当n为9是,剩1;
当n为11是,剩4;
当n为13是,剩7;
当n为15是,剩10;
当n为17是,剩13;
当n为19是,剩16;
当n为21是,剩19;
当n为23是,剩22;
当n为25是,剩25;
…
第一次7=7划了3次,
第二次25=25划了9次.
…
第K次3K-2=3K-2 用了3的K次方次,
1001是第501个奇数,
用等比数列的求和公式找最接近501的数
3+9+27+…+243=363,
3+9+27+…+729=1092,
则364数到501时,答案从1,4,7,10,即3n-2向后,
共138×3-2=412.
当n=1001时,最后这个数是412.
(2)由(2)可知,当n=3k(k为非零自然数)时,最后这个数是1.
(3)于每次划去两个数,则当n为偶数是,划数不能只剩一个,只有奇数才可以.
当n为3是,剩1;
当n为5是,剩4;
当n为7是,剩7;
当n为9是,剩1;
当n为11是,剩4;
当n为13是,剩7;
当n为15是,剩10;
当n为17是,剩13;
当n为19是,剩16;
当n为21是,剩19;
当n为23是,剩22;
当n为25是,剩25;
…
第一次7=7划了3次,
第二次25=25划了9次.
…
第K次3K-2=3K-2 用了3的K次方次,
1001是第501个奇数,
用等比数列的求和公式找最接近501的数
3+9+27+…+243=363,
3+9+27+…+729=1092,
则364数到501时,答案从1,4,7,10,即3n-2向后,
共138×3-2=412.
当n=1001时,最后这个数是412.
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