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在△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC边中点中点,连接MD和ME(1)如图1所示,若AB=AC,则MD和ME的数量关系是(2)如图2所示,若AB≠AC其他条件不
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在△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,M是BC边中点中点,连接MD和ME
(1)如图1所示,若AB=AC,则MD和ME的数量关系是______
(2)如图2所示,若AB≠AC其他条件不变,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
(3)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,请在图3中补全图形,并直接判断△MED的形状.
(1)如图1所示,若AB=AC,则MD和ME的数量关系是______
(2)如图2所示,若AB≠AC其他条件不变,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
(3)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,M是BC的中点,连接MD和ME,请在图3中补全图形,并直接判断△MED的形状.
▼优质解答
答案和解析
(1)MD=ME.
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中,
,
∴△ADB≌△AEC(AAS),
∴BD=CE,AD=AE,
∵M是BC的中点,
∴BM=CM.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE,
即∠DBM=∠ECM.
在△DBM和△ECM中,
,
∴△DBM≌△ECM(SAS),
∴MD=ME.
(2)如图,作DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G.
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形
ACE斜边上的高,
所以F、G分别是AB、AC的中点.
又∵M是BC的中点,所以MF、MG是△ABC的中位线.
∴MF=
AC,MG=
AB,MF∥AC,MG∥AB.
∴∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC.
∴∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.
∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,
∴EG=
AC,DF=
AB.
∴MF=EG,DF=MG.
在△DFM与△MGE中,
,
∴△DFM≌△MGE(SAS).
∴DM=ME.
∠FMD=∠GEM
∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME
∵EG⊥AC
∴∠EGC=90°
∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°
∴∠DME=90°
∴DM⊥EM.
(3)如图所示:
△MDE是等腰直角三角形.
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中,
|
∴△ADB≌△AEC(AAS),
∴BD=CE,AD=AE,
∵M是BC的中点,
∴BM=CM.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE,
即∠DBM=∠ECM.
在△DBM和△ECM中,
|
∴△DBM≌△ECM(SAS),
∴MD=ME.
(2)如图,作DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G.
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形
ACE斜边上的高,
所以F、G分别是AB、AC的中点.
又∵M是BC的中点,所以MF、MG是△ABC的中位线.
∴MF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC.
∴∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.
∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,
∴EG=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴MF=EG,DF=MG.
在△DFM与△MGE中,
|
∴△DFM≌△MGE(SAS).
∴DM=ME.
∠FMD=∠GEM
∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME
∵EG⊥AC
∴∠EGC=90°
∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°
∴∠DME=90°
∴DM⊥EM.
(3)如图所示:
△MDE是等腰直角三角形.
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