长为L,质量为m的匀质链条,置于水平面上,链条与桌面间的摩擦系数为μ,下垂部分的长度为a,由静止运动,求重力,摩擦力做的功,链条离开桌面时的速率.

Question

长为L,质量为m的匀质链条,置于水平面上,链条与桌面间的摩擦系数为μ,下垂部分的长度为a,由静止运动,求重力,摩擦力做的功,链条离开桌面时的速率.

Answer 1

我们把在桌面上那一截看成是一个整体,由于是匀质链条,所以其重心在中间位置,即离顶端(L-a)/2处.
∴链条离开桌面时,该部分重力做的功=[(L-a)/L]×mg×(L-a)/2=(L-a)²mg/(2L)
同样原理求得下垂部分重力做的功=(a/L)×mg×(L-a)=(aL-a²)mg/L
∴题目所求重力做的功=(L-a)²mg/(2L)+(aL-a²)mg/L=(L²-a²)mg/(2L)

摩擦力做的功比较麻烦,可以用积分的方法求.另外,我们还可以用“切块”的方法：我们把桌面上那一截平均分成n段,当n趋向无穷时,每一段都可以看成是一个质点,其质量是[(L-a)/(L×n)]m,第i个质点重心到桌边的距离是[(i/n)-1/(2n)](L-a).
*这个距离一定要理解好!
∴摩擦力做的功=∑[(L-a)μmg/(L×n)]×[(i/n)-1/(2n)](L-a) i从1到n
=[(L-a)²μmg/(L×n)]×(n/2)=(L-a)²μmg/(2L)

链条离开桌面时的速率设为v,根据能量守恒得
mv²/2=(L²-a²)mg/(2L)-(L-a)²μmg/(2L)
v=√{[(L²-a²)g-(L-a)²μg]/L}