光在某处的照度与光源的强度成正比，与光源距离的平方成反比．强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为6�光在某处的照度与光源的强度成正比，与光源距离的平方成反比．强度分别为8

Question

光在某处的照度与光源的强度成正比，与光源距离的平方成反比．强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为6�
光在某处的照度与光源的强度成正比，与光源距离的平方成反比．强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为6，在线段AB（除去端点）上有一点P，设PA=x．
（1）求x的值，使光源A与光源B在点P产生相等的照度；
（2）若“总照度”等于各照度之和．
①求出点P的“总照度”I（x）的表达式；
②求最小“总照度”与相应的x值．

Answer 1

（1）由题意知，点P受光源A的照度为(8k)/(x2)，受光源B的照度为(k)/((6?x)2)，其中k为比例常数；
∵光源A与光源B在点P产生相等的照度，
∴(8k)/(x2)=(k)/((6?x)2)，
由0＜x＜6，得x=2√(2)（6-x），
∴x=(48?12√(2))/(7)；
（2）①点P的“总照度”I（x）=(8k)/(x2)+(k)/((6?x)2)（0＜x＜6），
②由I′（x）=-(16k)/(x3)+(2k)/((6?x)3)，且I'（x）=0，解得x=4．
所以，0＜x＜4时，I'（x）＜0，I（x）在（0，4）上单调递减；
当4＜x＜6时，I（x）＜0，I（x）在（4，6）上单调递增；
因此，=4时，I（x）取得最小值为(3k)/(4)．