已知a,b是两个互相垂直的单位向量,而c的模等于13c*a=3,c*b=4则对于任意实数MNc-Ma-Nb的模的最小值是多少

Question

已知a,b是两个互相垂直的单位向量,而c的模等于13 c*a=3,c*b=4则对于任意实数M N c-Ma-Nb的模的最小值是多少

Answer 1

首先设a(sinØ,cosØ),b(sinΨ,cosΨ),c(x,y)
因为a,b是互相垂直的,所以a*b=0
所以得sinØsinΨ+cosØcosΨ=0
x²+y²=13²=169
又 c*a=3,c*b=4
所以xsinØ+ycosØ=3
xsinΨ+ycosΨ=4
c-Ma-Nb=(x-msinØ-nsinΨ,y-mcosØ-ncosΨ)
设所求模长为L
L²=(x-msinØ-nsinΨ)²+(y-mcosØ-ncosΨ)²
=x²+m²sinز+n²sinΨ²-2xmsinØ-2xnsinΨ+2mnsinØsinΨ+y²+m²cosز+n²cosΨ²-2mycosØ-2nycosΨ+2mncosØcosΨ
=m²-6m+n²-8n+169=(m-3)²+(n-4)²+144
所以当m=3,n=4时,L最小
L=12