已知命题：如果a>0,b>0,且a+b=1,那么1/a+1/b>=4.如果c>0,且a+b+c=1,推广上述命题判断真假并证明

Question

已知命题：如果a>0,b>0,且a+b=1,那么1/a+1/b>=4.如果c>0,且a+b+c=1,推广上述命题判断真假并证明

Answer 1

推广命题：如果a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,那么1/a+1/b+1/c>=9
证明如下：1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+b/a+c/a+a/b+1+c/b+a/c+b/c+1
=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c),
利用定理a+b≥2√ab（a,b均大于0,仅当a=b时候取等号）；
所以b/a+a/b≥2 ；c/a+a/c≥2；c/b+b/c≥2；
1/a+1/b+1/c>=3+2+2+2=9
所以命题：如果a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,那么1/a+1/b+1/c>=9,为真命题