已知a,b是单位向量,且a,b满足|na+b|=根3倍|a-nb|（n大于0）,1）试用n表示向量ab数量积.2）求向量ab数量积最小值级此时向量ab的夹角.

Question

已知a,b是单位向量,且a,b满足 |na+b|=根3倍|a-nb|（n大于0）,
1）试用n表示向量ab数量积.
2）求向量 ab数量积最小值级此时向量ab的夹角.

Answer 1

|na+b|=根3倍|a-nb|
两边平方
|na+b|^2=3|a-nb|^2 (注意：a^2=|a|^2=1)
n^2+2na*b+1=3(1-2na*b+n^2)
a*b=(n^2+1)/(4n)
2)a*b=1/4[n+1/n] ≥1/2
当且仅当n=1/n ,n=1时取等号
此时a*b=|a||b|cos θ
cos θ=1/2
θ=60度