长沙市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表:时间t(天)131020212240日销售量m(件)989
长沙市某商业公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量 m(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天) | 1 | 3 | 10 | 20 | 21 | 22 | 40 |
日销售量 m(件) | 98 | 94 | 80 | 60 | 61 | 62 | 80 |
未来40天内,该商品每天的价格y(元∕件)与时间t(天)的函数关系式为:
y= | t+25 (1≤t≤20,t为整数) | −t+40 (21≤t≤40,t为整数) |
| |
根据以上提供的条件解决下列问题:
(1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数的知识分别确定1≤t≤20,21≤t≤40时,满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大的销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中,该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a<4)给希望工程.公司通过销售记录发现,前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大,求a的最小值.
答案和解析
(1)当1≤t≤20(t为整数)时,将
和代入一次函数m=kt+b中,有,
解得,
所以m=-2t+100;
当21≤t≤40(t为整数)时,将和代入一次函数m=kt+b中,有,
解得,
所以m=t+40,
综上可得:m= | −2t+100(1≤t≤20) | t+40(21≤t≤40) |
| |
;
(2)设前20天日销售利润为P1元,后20天的日销售利润为P2元,
当1≤t≤20(t为整数)时,P1=(-2t+100)(t+25-20)=-t2+15t+500,
=-(t-15)2+612.5,
所以,t=15时,P1有最大值612.5元;
当21≤t≤40(t为整数)时,P2=(t+40)(-t+40-20),
=-t2+800,
所以,t=21时,P2有最大值-×212+800=579.5元,
综上可得:当t=15时,利润最大,为612.5元;
(3)当1≤t≤20(t为整数)时,
P1=(-2t+100)(t+25-20-a)=-t2+(15+2a)t+500-100a,
对称轴为:t==15+2a,
∵前20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t(天)的增大而增大,
∴15+2a≥20,
解得a≥2.5,
所以,a的最小值是2.5.
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