某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠

Question

某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC=(2)/(3)π，∠ACD=(π)/(3)，路宽AD=24米．设∠BAC=θ((π)/(12)≤θ≤(π)/(6))

（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；
（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）

Answer 1

（1）在△ACD中，∠CDA=θ+(π)/(6)，
由(AD)/(sin∠ACD)=(AC)/(sin∠CDA)，得AC=(AD•sin∠CDA)/(sin∠ACD)=16√(3)sin(θ+(π)/(6))，
在△ABC中，∠ACB=(π)/(3)-θ，
由(AB)/(sin∠ACB)=(AC)/(sin∠ABC)，得h=(AC•sin∠ACB)/(sin∠ABC)=32sin(θ+(π)/(6))sin((π)/(3)-θ)((π)/(12)≤θ≤(π)/(6))．
（2）△ABC中，
由(BC)/(sin∠BAC)=(AC)/(sin∠ABC)，得BC=(AC•sin∠BAC)/(sin∠ABC)=32sin(θ+(π)/(6))sinθ，
∴AB+BC=32sin(θ+(π)/(6))sin((π)/(3)-θ)+32sin(θ+(π)/(6))sinθ=16sin2θ+8√(3)，
∵(π)/(12)≤θ≤(π)/(6)，∴(π)/(6)≤2θ≤(π)/(3)，
∴当θ=(π)/(12)时，AB+BC取得最小值8+8√(3)≈21.86．
故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．