动点.在等边三角形ABC的边长为4cm,常为1cm的线段MN已知：在等边三角形ABC的边长为4cm,常为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cn/s的速度向B点运动（运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运

Question

动点.在等边三角形ABC的边长为4cm,常为1cm的线段MN
已知：在等边三角形ABC的边长为4cm,常为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cn/s的速度向B点运动（运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止）,过M、N分别作AB边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t 秒．
(1).线段MN在运动过程中,t为何值时,MNQP为矩形,并求出MNQP的面积.
（2）线段MN在运动的过程中,MNQP面积为S,运动的时间为t,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
Right now.

Answer 1

：（1）过点C作CD⊥AB,垂足为D,则AD=2,
当MN运动到被CD垂直平分时,四边形MNQP是矩形,
即当AM=3 2 时,四边形MNQP是矩形,
∴t=3 2 秒时,四边形MNQP是矩形,
∵PM=AMtan60°=3 2 3 ,
∴S四边形MNQP=3 2 3 ；
（2）①当0＜t≤1时,点P、Q都在AC上,并且四边形PMNQ为直角梯形,
在Rt△AMP中,
∵∠A=60°,AM=t,
∴PM= 3 AM= 3 t,
在Rt△ANQ中,
而AN=AM+MN=t+1,
∴QN= 3 AN= 3 （t+1）,
∴S四边形MNQP=1 2 （PM+QN）MN=1 2 [ 3 t+ 3 （t+1）]= 3 t+ 3 2 ；
②当1＜t＜2时,
点P在AC上,点Q在BC上,
PM= 3 t,
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t,
在Rt△BNQ中,
QN= 3 BN= 3 （3-t）,
∴S四边形MNQP=1 2 （PM+QN）MN=1 2 [ 3 t+ 3 （3-t）]×1=3 2 3 ；
③当2≤t＜3时,点P、Q都在BC上,
BM=4-t,BN=3-t,
∴PM= 3 BM= 3 （4-t）,QN= 3 BN= 3 （3-t）,
∴S四边形MNQP=1 2 （PM+QN）MN=1 2 [ 3 （3-t）+ 3 （4-t）]=7 2 3 - 3 t．