某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上

Question

某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x（x∈N^*）年的总费用为y（万元）．
（1）将y表示成x的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；
（2）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）．

Answer 1

（Ⅰ）该工厂使用该设备x年的运转费用是x万元，且每年的维护费是首项为2，公差也是2的等差数列．所以该工厂使用该设备的总费用为：y=100+x+（2+4+6+…+2x）=100+x+(x(2+2x))/(2)=x²+2x+100（x∈N^*）
（Ⅱ）使用该设备年平均费用(y)/(x)=(x2+2x+100)/(x)=x+(100)/(x)+2.设g(x)=x+(100)/(x)+2(x>0)，则g′(x)=1-(100)/(x2)=((x+10)(x-10))/(x2)．
令g'（x）=0，得x=10（负值舍去）．
从而，当0<x<10时，g'（x）<0；当x>10时，g'（x）>0．
所以，g（x）在（0，10）上递减，在（10，+∞）上递增．当x=10时，g（x）有最小值．
即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年．
另法：使用该设备年平均费用(y)/(x)=(x2+2x+100)/(x)=x+(100)/(x)+2≥2√(x•(100)/(x))+2=22（万元）
当且仅当x=(100)/(x)，即x=10时取等号．
即该设备使用年限是10年时，年平均费用最低，所以该设备的最佳使用年限是10年．