（2014•抚州模拟）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞c＞0）的左右焦点分别为F1，F2，c为半焦距，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32（a-c

Question

（2014•抚州模拟）已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞c＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，c为半焦距，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(√(3))/(2)（a-c），
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，与圆F₂交于C，D两点，若O在以AB为直径的圆上，求|

CD

|的最大值．

Answer 1

（1）根据题意可设切线长|PT|＝√(|PF2|2−(b−c)2)，
所以当且仅当|PF₂|取得最小值时取得最小值．
而|PF₂|_min=a-c，所以√((a−c)2−(b−c)2)≥(√(3))/(2)(a−c)，
所以0＜(b−c)/(a−c)≤(1)/(2)，
从而解得(3)/(5)≤e＜(√(2))/(2)，
∴离心率的取值范围是{e|(3)/(5)≤e＜(√(2))/(2)}．…（5分）
（2）依题意得点Q的坐标为（1，0），
则得直线l的方程为y=k（x-1），
联立方程组

作业帮用户 2017-10-06 举报

问题解析

（1）设切线长|PT|＝√(|PF2|2−(b−c)2)，当且仅当|PF₂|取得最小值时取得最小值，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（2）依题意得点Q的坐标为（1，0），直线l的方程为y=k（x-1），联立方程组

y＝k(x−1)

(x2)/(a2)+y2＝1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出|

CD

|的最大值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，考查线段长的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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