用轻绳连接的三个动滑轮组成动滑轮组，如图所示．挂在左、右两侧滑轮上的重物的质量均为M，为使系统处于平衡状态（图中α为已知）．求（1）挂在中间滑轮上的重物的质量m应为多大？

Question

用轻绳连接的三个动滑轮组成动滑轮组，如图所示．挂在左、右两侧滑轮上的重物的质量均为M，为使系统处于平衡状态（图中α为已知）．求

（1）挂在中间滑轮上的重物的质量m应为多大？
（2）两侧滑轮与支架之间的摩擦因数应为多少？
（3）这种平衡是否稳定？

Answer 1

（1）以左侧的滑轮为研究的对象，设其半径是R，受力如图：
其中Mg产生逆时针方向的力矩，绳子的拉力产生顺时针方向的力矩，根据力矩平衡得：Mg•R=F•（R+Rcosα）
所以：F=(MgR)/(R+Rcosα)=(Mg)/(1+cosα)
设挂在中间滑轮上的重物的质量m，对中间的滑轮减小受力分析得：mg=2F
所以：m=(M)/(2+2cosα)
（2）对左侧的滑轮进行受力分析如图，则：

水平方向：N-F•sinα=0
竖直方向：F•cosα+f-Mg=0
两侧滑轮与支架若没有滑动，它们之间的摩擦因数最小应为μ_m：则μm=(f)/(N)=(Mg-(Mg•cosα)/(1+cosα))/((Mg•sinα)/(1+cosα))=(1)/(sinα)   ③
所以两侧滑轮与支架之间的摩擦因数应为μ≥(1)/(sinα)；
（3）由公式①可知，绳子的拉力与α的大小有关，若滑轮的位置发生变化，则绳子与竖直方向之间的夹角会变化，对绳子的拉力发生变化．
如果滑轮向下一些，则α减小，cosα增大，对绳子的拉力减小；而绳子的拉力仍然是(Mg)/(1+cosα) 不会变化，所以滑轮将向上运动，回到原处；同理，若滑轮的位置向上一些，则合力使它向下运动．
由此可知，该平衡为稳定平衡．
答：（1）挂在中间滑轮上的重物的质量m应为(M)/(2+2cosα)；
（2）两侧滑轮与支架之间的摩擦因数应为μ≥(1)/(sinα)；
（3）这种平衡是稳定的．