有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，在其每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，上下底面不安装彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发

Question

有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁，在其每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，上下底面不安装彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．假定更换一个面需100元，用ξ表示维修一次的费用．
（1）求侧面ABB₁A₁需要维修的概率；
（2）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

（1）由题意知侧面ABB₁A₁需要维修包括三种结果，
一是五个灯中有三个不发光，二是五个灯中有4个不发光，三是五个灯中有5个不发光，
这三种结果是互斥的，
而每一种结果又是一个独立重复试验，由公式得到
P1＝

C

3 5

((1)/(2))5+

C

4 5

((1)/(2))5+

C

5 5

((1)/(2))5＝(1)/(2)；
（2）∵由题意知这个六棱柱每一个面要维修的概率是相同的
且各个面的维修情况是相互独立的，
∴ξ～B(6，(1)/(2))
根据二项分布的公式得到
P6(0)＝(1)/(64)，P6(1)＝(3)/(32)，P6(2)＝(15)/(64)，P6(3)＝(5)/(16)，
P6(4)＝(15)/(64)，P6(5)＝(3)/(32)，P6(6)＝(1)/(64)

Eξ＝100×6×(1)/(2)＝300（元）．