已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+(1)/(x)+2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）上的任意一点为（x，y），则点（x，y）关于A（0，1）对称点为（-x，2-y），
代入h（x）=x+(1)/(x)+2，得2-y=-x-(1)/(x)+2，即y=x+(1)/(x)．所以f（x）=x+(1)/(x)．
（2）g（x）=f（x）•x+ax=（x+(1)/(x)）x+ax=x²+ax+1，对称轴为x＝−(a)/(2)，
要使函数g（x）在区间[0，2]上为减函数，则−(a)/(2)≥2，即a≤-4．
所以实数a的取值范围a≤-4．