如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R=12πm，两轮轴心相距L=3.75m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦

Question

如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R=(1)/(2π) m，两轮轴心相距L=3.75m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=(√(3))/(6)．g取10m/s²．
（1）当传送带沿逆时针方向以v₁=3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需多长时间？（计算中可取√(252)≈16，√(396)≈20）
（2）小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹．当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小
物块无初速地放在A点，运动至B点飞出．要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度v₂至少多大？

Answer 1

（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下的重力、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律
    mgsin30°+μmgcos30°=ma₁①
解得 a₁=7.5m/s²
当小物块速度等于3m/s时，设小物块对地位移为L₁，用时为t₁，根据匀加速直线运动规律得
  t1＝(v1)/(a1)②
L1＝(v12)/(2a1)③
代入解得 t₁=0.4 s   L₁=0.6 m
由于L₁＜L 且μ＜tan30°，当小物块速度等于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，设
加速度为a₂，用时为t₂，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律得
  mgsin30°-μmgcos30°=ma₂④
解得  a₂=2.5m/s²
又L-L₁=v₁t₂+(1)/(2)a₂t₂²⑤
解得 t₂≈0.8 s
故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t=t₁+t₂=1.2s
（2）传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′时，小物块将从A点一直以加速度a₁做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，设用时t₀，即
L=(1)/(2)a₁t₀²⑥
解得t₀=1s
传送带的速度继续增大，小物块从A到B的时间保持t₀不变，而小物块和传送带之间的相对路程继续增大，小物块在传送带上留下的痕迹也继续增大；当痕迹长度等于传送带周长时，痕迹为最长S_max．  
设此时传送带速度为v₂，则
   S_max=2L+2πR⑦
   S_max=v₂t₀-L ⑧
联立⑥⑦⑧解得 v₂=12.25m/s
答：
（1）将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需1.2s时间．
（2）要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度v₂至少为12.25m/s．