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如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村A和李庄B送水,已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km,且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在
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(1)水泵应建在什么地方,可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置;
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米3000元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?
▼优质解答
答案和解析
(1)作点A关于河边所在直线l的对称点A′,连接A′B交l于P,则点P为水泵站的位置,此时,(PA+PB)的值最小,即PA与PB的长度之和最短,即所铺设水管最短;
(2)过B点作l的垂线,过A′作l的平行线,设这两线交于点C,则∠C=90°.
过A作AE⊥BC于E;
在直角△ABE中,依题意得:BE=5,AB=13,
根据勾股定理可得:AE=
=12.
∴由平移关系可得:A′C=AE=12,在Rt△B A′C中,∵BC=7+2=9,A′C=12,
根据勾股定理可得:A′B=
=
=15,
∵PA=PA′,
∴PA+PB=A′B=15.
∴最节省的铺设水管费用为:3000×15=45000(元).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a2cc7cd98d1001e996c8e8bebb0e7bec55e7978f.jpg)
(2)过B点作l的垂线,过A′作l的平行线,设这两线交于点C,则∠C=90°.
过A作AE⊥BC于E;
在直角△ABE中,依题意得:BE=5,AB=13,
根据勾股定理可得:AE=
AB2−BE2 |
∴由平移关系可得:A′C=AE=12,在Rt△B A′C中,∵BC=7+2=9,A′C=12,
根据勾股定理可得:A′B=
A′C2+BC2 |
122+92 |
∵PA=PA′,
∴PA+PB=A′B=15.
∴最节省的铺设水管费用为:3000×15=45000(元).
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