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已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,(1)证明:f(x)是R上的周期函数;(2)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式.
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已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,
(1)证明:f(x)是R上的周期函数;
(2)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式.
(1)证明:f(x)是R上的周期函数;
(2)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0],x+2∈[0,2],
∴f(x)=-f(x+2)=-(2x-x2)=x2-2x.
即x∈[-2,0]时,f(x)=x2-2x.
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即函数是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0],x+2∈[0,2],
∴f(x)=-f(x+2)=-(2x-x2)=x2-2x.
即x∈[-2,0]时,f(x)=x2-2x.
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