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关于集合和函数.1.已知A=(-2,-1)∪(1,+∞),B=﹛x|x²+ax+b≤0},A∪B=(-2,+∞),A∩B=﹙1,3],实数a、b的值.2.已知A={x|x²-ax+a²-19=0},B={x|x²-5x+8=2},C={x|x²+2x-8=0},若A∩B真包含空集,
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关于集合和函数.
1.已知A=(-2,-1)∪(1,+∞),B=﹛x|x²+ax+b≤0},A∪B=(-2,+∞),A∩B=﹙1,3],实数a、b的值.
2.已知A={x|x²-ax+a²-19=0},B={x|x²-5x+8=2},C={x|x²+2x-8=0},若A∩B真包含空集,且A∩C=空集,求a的值.
3.设y=f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且对任意实数x₁、x₂,都有f(x₁▪x₂)=f(x₁)+f(x₂).
(1)求证:f(1)=f(-1)=0
(2)求证:f(x)为偶数.
1.已知A=(-2,-1)∪(1,+∞),B=﹛x|x²+ax+b≤0},A∪B=(-2,+∞),A∩B=﹙1,3],实数a、b的值.
2.已知A={x|x²-ax+a²-19=0},B={x|x²-5x+8=2},C={x|x²+2x-8=0},若A∩B真包含空集,且A∩C=空集,求a的值.
3.设y=f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且对任意实数x₁、x₂,都有f(x₁▪x₂)=f(x₁)+f(x₂).
(1)求证:f(1)=f(-1)=0
(2)求证:f(x)为偶数.
▼优质解答
答案和解析
(1)由A=(-2,-1)∪(1,+∞),A∪B=(-2,+∞),A∩B=﹙1,3],可得集合B=[1,3];
所以由韦达定理知:1+3=-a,1*3=b,所以a=-4,b=3;
(2)x²-5x+8=2,得:x1=2,x2=3,所以集合B={2,3},A∩B真包含空集,即A∩B≠空集;
x²+2x-8=0,得:x1=-4,x2=2,所以集合C={-4,2},A∩C=空集;
由A∩B≠空集,A∩C=空集,可知元素2属于集合A,把x=2代入方程x²-ax+a²-19=0,
得:a²-2a-15=0,解得:a1=5,a2=-3,
a=5时,x²-ax+a²-19=x²-5x+6=0,得x1=2,x2=3,则此时A=C,所以舍去a=5;
a=-3时,x²-ax+a²-19=x²+3x-10=0,得x1=-5,x2=2,此时集合A={-5,2},满足题意
综上:a=-3
(3)f(x₁▪x₂)=f(x₁)+f(x₂)这个式子中x₁、x₂可以用除0之外的任何数字或字母来替换;
令x₂=1,得f(x₁)=f(x₁)+f(1),所以f(1)=0
令x₁=x₂=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即2f(-1)=f(1),因为已证得f(1)=0,所以可得f(-1)=0
所以第一小题:f(1)=f(-1)=0 得证;
在f(x₁▪x₂)=f(c)+f(x₂)这个式子中x₂=-1,
得:f(-x₁)=f(x₁)+f(-1),由第一小题知f(-1)=0,所以就得到了:f(-x₁)=f(x₁),
所以f(x)是偶函数.
如果不懂,请Hi我,
所以由韦达定理知:1+3=-a,1*3=b,所以a=-4,b=3;
(2)x²-5x+8=2,得:x1=2,x2=3,所以集合B={2,3},A∩B真包含空集,即A∩B≠空集;
x²+2x-8=0,得:x1=-4,x2=2,所以集合C={-4,2},A∩C=空集;
由A∩B≠空集,A∩C=空集,可知元素2属于集合A,把x=2代入方程x²-ax+a²-19=0,
得:a²-2a-15=0,解得:a1=5,a2=-3,
a=5时,x²-ax+a²-19=x²-5x+6=0,得x1=2,x2=3,则此时A=C,所以舍去a=5;
a=-3时,x²-ax+a²-19=x²+3x-10=0,得x1=-5,x2=2,此时集合A={-5,2},满足题意
综上:a=-3
(3)f(x₁▪x₂)=f(x₁)+f(x₂)这个式子中x₁、x₂可以用除0之外的任何数字或字母来替换;
令x₂=1,得f(x₁)=f(x₁)+f(1),所以f(1)=0
令x₁=x₂=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即2f(-1)=f(1),因为已证得f(1)=0,所以可得f(-1)=0
所以第一小题:f(1)=f(-1)=0 得证;
在f(x₁▪x₂)=f(c)+f(x₂)这个式子中x₂=-1,
得:f(-x₁)=f(x₁)+f(-1),由第一小题知f(-1)=0,所以就得到了:f(-x₁)=f(x₁),
所以f(x)是偶函数.
如果不懂,请Hi我,
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