已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则11-a∈S．（Ⅰ）若{2，-2}⊆S，求使元素个数最少的集合S；（Ⅱ）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？

Question

已知元素为实数的集合S满足下列条件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，则(1)/(1-a)∈S．
（Ⅰ）若{2，-2}⊆S，求使元素个数最少的集合S；
（Ⅱ）若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．

Answer 1

（Ⅰ）2∈S，则-1∈S，(1)/(2)∈S，可得2∈S；-2∈S，则(1)/(3)∈S，(3)/(2)∈S，可得-2∈S，
∴{2，-2}⊆S，使元素个数最少的集合S为{2，-1，(1)/(2)，-2，(1)/(3)，(3)/(2)}．------------------------（5分）
（Ⅱ）非空有限集S的元素个数是3的倍数．
证明如下：
（1）设a∈S则a≠0，1且a∈S，则(1)/(1-a)∈S，(1)/(1-(1)/(1-a))=(a-1)/(a)∈S，(1)/(1-(a-1)/(a))=a∈S
假设a=(1)/(1-a)，则a²-a+1=0（a≠1）m无实数根，故a≠(1)/(1-a)．
同理可证a，(1)/(1-a)，(a-1)/(a)两两不同．
即若有a∈S，则必有{a，(1)/(1-a)，(a-1)/(a)}⊆S．
（2）若存在b∈S（b≠a），必有{b，(1)/(1-b)，(b-1)/(b)}⊆S．{a，(1)/(1-a)，(a-1)/(a)}∩{b，(1)/(1-b)，(b-1)/(b)}=∅．
于是{a，(1)/(1-a)，(a-1)/(a)，b，(1)/(1-b)，(b-1)/(b)}⊆S．
上述推理还可继续，由于S为有限集，故上述推理有限步可中止，
∴S的元素个数为3的倍数．-------------------------------------------------------------（13分）