已知函数f(x)＝2−xx−1，g（x）=（x+1）3（1）作出函数f（x）的图象；（2）写出函数f（x）的单调区间，并利用定义证明函数f（x）在区间（-3，+∞）上的单调性；（3）判断f（x）-g（x）的零

Question

已知函数f(x)＝(2−x)/(x−1)，g（x）=（x+1）³
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的单调区间，并利用定义证明函数f（x）在区间（-3，+∞）上的单调性；
（3）判断f（x）-g（x）的零点个数．

Answer 1

（1）函数f(x)＝(2−x)/(x−1)=-((x−1)−1)/(x−1)=-1+(1)/(x−1)，故把函数y=(1)/(x)的图象向右平移1个单位，
再向下平移1个单位，即可得到函数f（x）的图象，如图所示：
（2）函数f（x）的减区间为（-∞，1）、（1，+∞）．
函数f（x）在区间（-3，1）上是减函数，在（1，+∞）上是减函数．
证明：设-3＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=(1)/(x1−1)-(1)/(x2−1)=(x2−x1)/((x1−1)(x2−1))．
由题设可得 x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0，∴(x2−x1)/((x1−1)(x2−1))＞0，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在区间（-3，1）上是减函数．
同理可证，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．
（3）函数f（x）-g（x）的零点个数，即函数f（x）和函数g（x）=（x+1）³  的图象交点的个数，
在同一个坐标系中，画出函数函数f（x）和函数g（x）=（x+1）³ 的图象，如图所示，
由于这2个函数的图象仅有2个交点，故函数f（x）-g（x）的零点个数为2．