一道数学题（数列）已知数列{a[n]}的前n项和为S[n],并且满足a[1]=2,na[n+1]=S[n]+n(n+1)(1).求{a[n]}的通项公式(2).令T[n]=(4/5)^n·S[n],问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有T[n]

Question

一道数学题（数列）
已知数列{a[n]}的前n项和为S[n],并且满足a[1]=2,na[n+1]=S[n]+n(n+1)
(1).求{a[n]}的通项公式
(2).令T[n]=(4/5)^n·S[n],问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有T[n]

Answer 1

(1)令n=n-1; (n-1)an=s(n-1)+n(n-1);
题目给的那个式子和这个式子相减得到a(n+1)-an=2...(中间过程要知道an=sn-s(n-1),就可以了）
又告诉了首项,an是个等差数列就可以求出通项了
2）第二题的意思是数列是否存在一个最大值,
先算出Tn=n(n+1)*(4/5)^n;这个函数不是一般的函数,不好直接判断.
令n=n-1代入有T(n-1)=n(n-1)*(4/5)^(n-1);.条件是n>1;
Tn/T(n-1)=4(n+1)/5(n-1);显然Tn都是整数,怎样就拿Tn/T(n-1)和1比较,计算得到当n1也就是数列值是递增的,n>9,Tn/T(n-1)