设函数f（x）=|x-a|-ax，其中a为大于零的常数．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）若0≤x≤2时，不等式f（x）≥-2恒成立，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=|x-a|-ax，其中a为大于零的常数．
（1）解不等式：f（x）＜0；
（2）若0≤x≤2时，不等式f（x）≥-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）不等式即为|x-a|＜ax，
若x≤0，则ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化为（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
∴当a＞1时，x＞(a)/(1+a)或x＜(a)/(1−a)（舍）；
当a=1时，x＞(1)/(2)；
当0＜a＜1时，(a)/(1+a)＜x＜(a)/(1−a)．
综上可得，当a＞1时，不等式解集为{x|x＞(a)/(1+a)}；
当a=1时，不等式的解集为{x|x＞(1)/(2)}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|(a)/(1+a)＜x＜(a)/(1−a)}；

（2）不等式即为|x-a|≥ax-2，
若0＜a≤1，则当0≤x≤2时有ax-2≤0，故不等式|x-a|≥ax-2恒成立．
若a＞1，则x-a≥ax-2或x-a≤2-ax对任意x∈[0，2]恒成立，
即（1-a）x+2-a≥0或（1+a）x-a-2≤0对任意x∈[0，2]恒成立，
所以（1-a）•2+2-a≥0或（1+a）•2-a-2≤0，
解得a≤(4)/(3)或a≤0，
∴1＜a≤(4)/(3)．
综上，实数a的取值范围为（0，(4)/(3)]．