已知数列{an}满足3Sn=（n+2）an（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，a1=2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记数列{1an}的前n项和为Tn是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|<110成立？若

Question

已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和，a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{(1)/(an)}的前n项和为T_n是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|<(1)/(10)成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由3S_n=（n+2）a_n得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），
二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1f（x）
∴(an)/(an-1)=(n+1)/(n-1)（n≥2）
∴(an-1)/(an-2)=(n)/(n-2)；…；(a3)/(a2)=(4)/(2)；(a2)/(a1)=(3)/(1)；a₁=2
叠乘得a_n=n（n+1）；
（2）(1)/(an)=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n+1)，
∴Tn=1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(2)-(1)/(4)+…+(1)/(n)-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)，
令|Tn-1|=|(n)/(n+1)-1|=(1)/(n+1)<(1)/(10)得n>9
故满足条件的M存在，集合M={n|n>9，n∈N^*}．