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若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的、单调的函数,且满足f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x3+x2+x+m,(1)当m=0时,讨论函数f(x)=-x3+x2+x
题目详情
若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的、单调的函数,且满足f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x3+x2+x+m,
(1)当m=0时,讨论函数f(x)=-x3+x2+x+m在定义域内的单调性并求出极值;
(2)若函数f(x)=-x3+x2+x+m有三个零点,求实数m的取值范围.
(1)当m=0时,讨论函数f(x)=-x3+x2+x+m在定义域内的单调性并求出极值;
(2)若函数f(x)=-x3+x2+x+m有三个零点,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)当m=0时,f(x)=-x3+x2+x.
∴f′(x)=-3x2+2x+1=−3(x+
)(x−1).
列表如下:
由表可知:函数f(x)=-x3+x2+x在区间[-
,1]上单调递增,在(−∞,−
)和(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(−
)=-
,
极大值为ƒ(1)=1.
(2)由(1)知,当x=-
时,
f(x)取得极小值f(−
)=
+
−
+m=m−
,
当x=1时,f(x)取得极大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
当
,即-1<m<
时,
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(−
)=m-
<0,
f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x3+x2+m在[−1,−
]上有唯一零点.
在(−
,1]上有唯一零点,在(1,2]上有唯一零点.又f(x)=-x3+x2+x+m在(-∞,-1]上单调递减,
在[2,+∞]上单调递减,∴在(-∞,-1]上恒有ƒf(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x3+x2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上无零点.∴-1<m<
时,函数f(x)=-x3+x2+x+m在有三个零点,
∴所求实数m的取值范围是(−1,
).
∴f′(x)=-3x2+2x+1=−3(x+
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列表如下:
由表可知:函数f(x)=-x3+x2+x在区间[-
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∴f(x)的极小值为f(−
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极大值为ƒ(1)=1.
(2)由(1)知,当x=-
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f(x)取得极小值f(−
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当x=1时,f(x)取得极大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
当
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f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(−
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f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x3+x2+m在[−1,−
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在(−
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在[2,+∞]上单调递减,∴在(-∞,-1]上恒有ƒf(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x3+x2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上无零点.∴-1<m<
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∴所求实数m的取值范围是(−1,
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