高数,有关和函数问题∑(x^n/(n+1))n从0到∞它的和函数我省略但是我想知道在x＝0时它的值是多少,按照这式子来看就是无穷多个零相加还是零啊但是若按照正规方法来求的话最后求出的和

Question

高数,有关和函数问题
∑(x^n/(n+1)) n从0到∞ 它的和函数我省略 但是我想知道 在x＝0时它的值是多少,按照这式子来看就是无穷多个零相加 还是零啊 但是若按照正规方法来求的话 最后求出的和函数x不等于零 这时要取x趋于零的极限 此时那就等于1了 这是为什么啊 没钱 只求普及知识……

Answer 1

你如果直接说x=0,求∑(x^n/(n+1))=?那么∑(x^n/(n+1))应当等于0.但是你现在求的不是x=0的时候,∑(x^n/(n+1))的值.是求x→0（x趋近于0）的时候,∑(x^n/(n+1))的极限.我们在学习函数的时候.早就学过大量的,极限值不等于函数值的例子,这种情况下函数在这一点不连续.只有连续函数,才有极限值=函数值.
现在我们并没有证明出∑(x^n/(n+1))在x=0这一点是否连续.所以本来就不知道∑(x^n/(n+1))在x=0这点的极限值是否等于函数值.相等不稀奇,不相等也不稀奇啊.
先在求极限的话,∑(x^n/(n+1))中的每一项是无穷小,无穷小并不是0,是不等于0的,无限接近于的函数.并且有无限个无穷小求和.那么若干个无穷小的和也是无穷小这个极限的定理已经明确说明只适用于有限个无穷小相加.也就是说如果是有限个无穷小相加,无论是100个,100个或者几十亿个无穷小相加,结果也还是无穷小.但是现在这里是无限个无穷小相加.那么我们就不能使用“无穷小之和也是无穷小”这个定理了.必须求出函数式,然后求极限.
至于你说的直接把x=代入得到等于0和求x→0（x趋近于0）的时候,极限不为0,顶多证明这个函数在x=0处极限值≠函数值,函数不连续罢了.