函数f（x）＝x｜x－a｜（a属于R）.（1）求f（x）的单调区间；（2）解关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2.

Question

函数f（x）＝x｜x－a｜（a属于R）.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）解关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2.

Answer 1

a 分三种情况讨论：
一、首先考虑,若a = 0,
（1）当x ＜0时,f（x）＝ - x^2；当x ＞0时,f（x）＝ x^2
所以函数在定义域内是单调增函数,增区间为(-∞,+∞)
（2）当x ≤0 时,关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2 为 x^2 ≤ 0,则 x=0；
当x ＞0时,关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2 为 x^2 ≥ 0,则 x＞0
综上,关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2 的解集为 x ≥ 0
二、若a ＞ 0,则 a ＞ a/2 .
（1）求f（x）的单调区间；
当x＜a时,
f（x）＝x｜x－a｜＝ - x^2 +ax,抛物线开口向下,顶点在（a/2,-a^2/2）
因为a ＞ a/2,所以减区间为(a/2,a)
当x≥a时,
f（x）＝x｜x－a｜＝x^2 -ax,抛物线开口向上,顶点在（a/2,-a^2/2）
因为a ＞ a/2,所以增区间为(a,+∞)；
（2）解关于x的不等式f（x）≥ 2a＾2
当x≥a时, 有 x^2 -ax ≥ 2a＾2,即 (x - 2a)(x + a)≥ 0,解得
x≥2a 或 x≤-a,考虑到大前提：a ＞ 0
又因 2a＞a,所以 不等式的解为 x≥2a ；
当x＜a时,有 -x^2 + ax ≥ 2a＾2,即 x^2 -ax + 2a＾2 ≤ 0
由于判别式 △= -7 a＾2 ＜ 0,所以不等式无解
综上,关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2 的解集为x≥2a
三、同理,若a＜0,则 a ＜a/2 .
（1）求f（x）的单调区间；
当x＜a时,
f（x）＝x｜x－a｜＝-x^2 +ax,
因为a ＜ a/2,所以增区间为(-∞,a)
当x≥a时,
f（x）＝x｜x－a｜＝x^2 -ax,
因为a ＜ a/2,所以减区间为(a,a/2)；
（2）解关于x的不等式f（x）≥ 2a＾2
当x≥a时, 有 x^2 -ax ≥ 2a＾2,即 (x - 2a)(x + a)≥ 0,解得
x≤2a 或 x≥-a,考虑到大前提：a ＜ 0
又因 2a＜a ＜-a,所以 不等式的解为 x≥-a；
当x＜a时,有 -x^2 + ax ≥ 2a＾2,即 x^2 -ax + 2a＾2 ≤ 0
由于判别式 △= -7 a＾2 ＜ 0,所以不等式无解
综上,关于x的不等式f（x）＞＝2a＾2 的解集为 x≥-a