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定义:对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”.(1)理如图1,已知四边形ABCD是“垂直四边形”,对角线AC,BD交于点O,AC=8,BD=7,则四边形ABCD的面积为;(2)探究:小明对“垂
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定义:对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”.
(1)理 如图1,已知四边形ABCD是“垂直四边形”,对角线AC,BD交于点O,AC=8,BD=7,则四边形ABCD的面积为___;
(2)探究:小明对“垂直四边形”ABCD(如图1)进行了深入探究,发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和.即AB2+CD2=AD2+BC2.你认为他的发现正确吗?试说明理由.
(3)应用:
①如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动,同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动,运动时间为t秒(0<t<1),连结CP,BQ,PQ.当四边形BCQP是“垂直四边形”时,求t的值.
②如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=3AC,分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG.请直接写出线段EG与BC之间的数量关系.
(1)理 如图1,已知四边形ABCD是“垂直四边形”,对角线AC,BD交于点O,AC=8,BD=7,则四边形ABCD的面积为___;
(2)探究:小明对“垂直四边形”ABCD(如图1)进行了深入探究,发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和.即AB2+CD2=AD2+BC2.你认为他的发现正确吗?试说明理由.
(3)应用:
①如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动,同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动,运动时间为t秒(0<t<1),连结CP,BQ,PQ.当四边形BCQP是“垂直四边形”时,求t的值.
②如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=3AC,分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG.请直接写出线段EG与BC之间的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是“垂直四边形”,
∴AC⊥BD,
∴△ABD的面积为:
AO•BD,
△CBD的面积为:
CO•BD,
∴四边形ABCD的面积:
AO•BD+
CO•BD
=
BD(AO+CO)
=
AC•BD
=
×8×7
=28;
故答案为:28;
(2)∵四边形ABCD是“垂直四边形”,
∴AC⊥BD.
由勾股定理可知:
AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2),
AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2),
∴AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)①如图2,过点P作PD⊥AC于点D,
由题意知:AP=5t,CQ=6t,
∵∠ACB=90°,
∴AB=
=10
∵PD∥BC.
∴△PAD∽△BAC,
∴
=
=
,
∴
=
=
,
∴AD=3t,PD=4t,
∴DQ=AC-AD-CQ=6-9t,
∵四边形BCQP是“垂直四边形”.
∴BP2+CQ2=PQ2+BC2,
∴(10-5t)2+(6t)2=(4t)2+(6-9t)2+82,
∴解得t=
或t=0(舍去),
∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时,t的值为
;
②如图3,连接CG、BG、BE、CE,
CE与BG交于点O
由题意知:EA=BA,AC=AG
∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC
∴∠EAC=∠BAG
在△EAC与△BAG中
,
∴△EAC≌△BAG(SAS)
∴∠CEA=∠GBA
∴∠EAB=∠BOE=90°
∴四边形BCGE是“垂直四边形”
∴BC2+EG2=BE2+CG2,
∵AB=3AC,
∴EG2=
BC2.
∴AC⊥BD,
∴△ABD的面积为:
1 |
2 |
△CBD的面积为:
1 |
2 |
∴四边形ABCD的面积:
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=28;
故答案为:28;
(2)∵四边形ABCD是“垂直四边形”,
∴AC⊥BD.
由勾股定理可知:
AB2+CD2=(AO2+BO2)+(DO2+CO2),
AD2+BC2=(AO2+DO2)+(BO2+CO2),
∴AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)①如图2,过点P作PD⊥AC于点D,
由题意知:AP=5t,CQ=6t,
∵∠ACB=90°,
∴AB=
62+82 |
∵PD∥BC.
∴△PAD∽△BAC,
∴
AD |
AC |
PD |
BC |
AP |
AB |
∴
AD |
6 |
PD |
8 |
5t |
10 |
∴AD=3t,PD=4t,
∴DQ=AC-AD-CQ=6-9t,
∵四边形BCQP是“垂直四边形”.
∴BP2+CQ2=PQ2+BC2,
∴(10-5t)2+(6t)2=(4t)2+(6-9t)2+82,
∴解得t=
2 |
9 |
∴当四边形BCQP是“垂直四边形”时,t的值为
2 |
9 |
②如图3,连接CG、BG、BE、CE,
CE与BG交于点O
由题意知:EA=BA,AC=AG
∠EAB=∠CAG=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAG+∠BAC
∴∠EAC=∠BAG
在△EAC与△BAG中
|
∴△EAC≌△BAG(SAS)
∴∠CEA=∠GBA
∴∠EAB=∠BOE=90°
∴四边形BCGE是“垂直四边形”
∴BC2+EG2=BE2+CG2,
∵AB=3AC,
∴EG2=
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