如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．（1）求证：∠ACB=∠ABD；（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

Question

如图1，点D位于△ABC边AC上，已知AB是AD与AC的比例中项．

（1）求证：∠ACB=∠ABD；
（2）现有点E、F分别在边AB、BC上如图2，满足∠EDF=∠A+∠C，当AB=4，BC=5，CA=6时，求证：DE=DF．

Answer 1

（1）证明：∵AB是AD与AC的比例中项．
∴(AB)/(AC)=(AD)/(AB)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABD；
（2）证明：∵△ABD∽△ACB，
∴(AD)/(AB)=(BD)/(BC)=(AB)/(AC)，即(AD)/(4)=(BD)/(5)=(4)/(6)，
解得：AD=(8)/(3)，BD=(10)/(3)，
∴CD=AC-AD=6-(8)/(3)=(10)/(3)，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ABD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°-∠ABC，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴点B、E、D、F四点共圆，
∴

DE

=

DF

，
∴DE=DF．