设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={aSinx,0≤x≤π(上一行）0,其他（大括号后下一行）,求（1）常数a(2)期望E(X)(3)方差D(X)(4)X的分布函数

Question

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={ aSinx,0≤x≤π(上一行） 0,其他（大括号后下一行） ,求（1）常数a(2)期望E(X) (3) 方差D(X) (4)X的分布函数

Answer 1

（1）密度函数在积分区域上的积分总是等于1,于是：
定积分 （x从0到π） asin(x) dx = -acos(x) | x从0到π = 2a = 1,于是a = 1/2；
（2）直接用定义,
EX = 定积分 （x从0到π）axsin(x) dx
= 定积分 （x从0到π）(-ax) dcos(x)
= -axcos(x) | x从0到π + 定积分 （x从0到π）acos(x) dx
= aπ + 0 = aπ = π/2；
（3）
EX^2 = 定积分 （x从0到π）ax^2 sin(x) dx
= 定积分 （x从0到π）(-ax^2) dcos(x)
= (-ax^2)cos(x) | x从0到π + 定积分 （x从0到π）axcos(x) dx
= aπ^2 + 定积分 （x从0到π）ax dsin(x)
= aπ^2 - 定积分 （x从0到π）asin(x) dx
= aπ^2 - 1 = π^2/2 - 1,于是
DX = π^2/2 - 1 - π^2/4 = π^2/4-1；
（4）分布函数定义：
F(x) = 定积分 （t从负无穷到x）f(x) dx
= 0,if x