我想问一下,对于对称阵的相似对角化,可以不单位化吗,我们书上的都是有单位化比如有一题是,设3阶对称阵A的特征值为λ1=1,λ2=-1,λ3=0,对应λ1,λ2的特征向量依次为p1=(1,2,2)转置,p2=(2,1,-2)转置,求

Question

我想问一下,对于对称阵的相似对角化,可以不单位化吗,我们书上的都是有单位化
比如有一题是,设3阶对称阵A的特征值为λ1=1,λ2=-1,λ3=0,对应λ1,λ2的特征向量依次为p1=(1,2,2)转置,p2=(2,1,-2)转置,求A,答案是
1/3(-1 0 2)
0 1 2
2 2 0 请问去掉1/3是不是也是正确的,谢谢了~

Answer 1

这个1/3不是单位化来的,不能去掉
求出与p1,p2正交的向量p3后
可令 P=(p1,p2,p3),求出 A=Pdiag(1,-1,0)P^-1.
但为了避免求逆矩阵,可将 p1,p2,p3 单位化(已经两两正交)
构成正交矩阵Q.
这样,A = Qdiag(1,-1,0)Q^T