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已知函数f(x)是定义在R上的单调函数满足f(-3)=2,,且对任意的实数a∈R有f(-a)+f(a)=0恒成立.(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;(Ⅱ)解关于x的不等式f(2−xx)<2.
题目详情
已知函数f(x)是定义在R上的单调函数满足f(-3)=2,,且对任意的实数a∈R有f(-a)+f(a)=0恒成立.
(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)解关于x的不等式f(
)<2.
(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)解关于x的不等式f(
2−x |
x |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)结论:f(x)是R上的减函数.理由如下
∵对任意的实数a∈R有f(-a)+f(a)=0
∴f(-a)=-f(a)对任意的实数a∈R成立,可得函数f(x)是定义在R上的奇函数,
取x=0,得f(0)=0
∵f(x)在R上是单调函数,f(-3)=2>0=f(0)
∴f(x)为R上的减函数.
(Ⅱ)由f(-3)=2,不等式f(
)<2等价于f(
)<f(−3)
又∵f(x)为R上的减函数,∴原不等式可化为:
>−3
整理得:
>0,解之得:x<-1或x>0
∴不等式f(
)<2的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).
∵对任意的实数a∈R有f(-a)+f(a)=0
∴f(-a)=-f(a)对任意的实数a∈R成立,可得函数f(x)是定义在R上的奇函数,
取x=0,得f(0)=0
∵f(x)在R上是单调函数,f(-3)=2>0=f(0)
∴f(x)为R上的减函数.
(Ⅱ)由f(-3)=2,不等式f(
2−x |
x |
2−x |
x |
又∵f(x)为R上的减函数,∴原不等式可化为:
2−x |
x |
整理得:
2x+2 |
x |
∴不等式f(
2−x |
x |
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